建立二次函数模型 巧妙求解实际问题

初中   汪斌

摘要：初中数学函数中最为重要的内容便是二次函数，作为较为重要的数学题型，解析二次函数可以帮助人们解决生活中的实际问题，因而利用二次函数解决实际问题已经成为历年中考的主要考点。目前初中数学考试中存在多种二次函数题目，且具备较强的综合性，解决过程中存在一定难度。这主要是学生没有充分认识二次函数的知识点，无法灵活运用二次函数的解题技巧，以致在遇到实际问题时不会转化，没有形成系统的知识网络。本文通过分析二次函数在实际问题中的具体应用，以帮助学生提升解题的信心与能力。

关键词：二次函数；模型；实际问题

前言

近年来，各地中考数学题目中开始频繁出现二次函数的应用题目，且内容多与现实生活中的生产生活联系密切，对初中学生的分析问题的能力提出了更高要求。且往往会涉及商业利润问题，通过降低成本获得高额利润；抛物线形状问题等，下面便进行详细的举例分析。

1.解读教材，掌握二次函数的解题关键

二次函数的应用题目主要考察初中学生的数学分析及解决实际问题的能力，且应用题目涉及的数学知识并不深奥，有关背景也十分广泛，涵盖了人文、科技、生产以及实际生活等各个方面，且二次函数的题目中含有较多文字，以致很难抓住中心要领，为此应利用二次函数知识观察、分析实际问题，并将其转化为函数模型，列出函数关系式以解决问题。比如在解决抛物线问题时应恰当建立直角坐标系，并将题目中的已知条件转化为点坐标，设立专门的函数解析式，而后利用其解决生活中的实际问题。教学过程中，只要学生可以按照上述步骤解题，就一定会做到游刃有余。

2.设置情境，激发学生的数学探究兴趣

实际生活中，二次函数拥有着广泛的应用空间，初中生的生产生活经验十分有限，通过建立二次函数模型将生活中的实际问题转化为数学问题，对其而言存在一定难度。为此数学教师应搜集、整理生活中熟悉的案例，并利用多媒体等技术将其引入之课堂中，以提升学生的数学学习兴趣。如下题所示。

在体育测试中，初三年级的一名男同学投掷铅球，且铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图1所示。

       图1

如果此同学出手点A处的坐标为(0,2)，铅球经过最高点B处的坐标为(6,5)。

则：(1)求此二次函数的关系式；(2)此男子最终将铅球抛出多远？（结果保留两位小数）

本题设置情境使学生既熟悉又陌生，这也是问题的新颖之处，考察了学生的知识水平、解决问题能力以及心理素质水平，而利用数学知识解决生活中的实际问题不但可以增强学生的学习积极性，也大幅度提升了教学效果。此类问题涉及的数学知识比较简答，只要可以正确建立模型，并将其转化为数学问题，所有问题也都会迎刃而解。教师应引导学生利用A(0,2)，B(6,5)两点建立二次函数的关系式，，令y=0进行求解，最终得到与，由题意知不合题意，应舍去，最终得到结果为。

3.拓展知识，利用函数性质解题

我们生活的世界是多姿多彩的，且无时无刻不处于运动与变化之中，且万物之间的变化又存在着千丝万缕的联系。二次函数反映了客观世界及变量之间的关系与规律，属于较为常见的数学模型，利用二次函数的性质，我们可以解决生活中的实际问题。

例如某公司销售一种新型的节能产品，且准备在国内及国外的销售方案中选择一种进行销售。如果只在国内销售，则其销售价格为每件Y元，且月销售量为x件，函数关系式为，每件产品的销售成本为20元，且无论销售量为多少，每月还应支出62500元的广告费用，此时月利润为元。如果只在国外销售，每件产品的销售价格为150元，且受各种因素的影响，每件产品的成本为a元，且a为常数，处于10至40之间。当月销售量达到x件时，每月还应缴纳的附加费用。此时月利润为元。

(1)当x=1000时，y值及是多少；(2)分别求出、与x的关系式；(3)当国内销售利润最大时，x值为多少。当国外销售利润与国内销售利润的最大值相等时，a值为多少；(4)如果某月的产品销售量为5000件，公司在国内的月利润较大还是国外的月利润较大。

分析发现，对于(1)问题而言，只需要将x=1000带入至关系式即可，并求出相应Y值，而后在利用所给公式求出；(2)问题由题意可知，根据(1)所给公式可以写出=月销售件数（每件销售价-每件成本价）—广告费；而=月销售件数（每件销售价-每件成本价a）—附加费用；(3)根据(2)中给出的关系式分别表示两种销售方法最大值的代数式，并根据具体题意列出方程，并求值；(4)(2)中的关系式中x=5000，求出的具体数值，而后将其带入中，得出与a之间的关系式，并确定与之间的大小关系，求出关于a的不等式，最后求解可知最佳的销售方式。具体解法如下：

解：(1)x=1000代入至中，可知Y=140元/件，此时得出=57500。(2)由题意可知，=x(y-20)-62500=，=。(3)由题意求出当x=6500时，可以取得最大值。得出a值为30或270，代入题中可知，a=270不符合题意，因而a=30。(4)当x=5000时，=-100+130×100-62500=337500；=-100+(150-a)×5000=-5000a+500000；而后分情况进行讨论。

当<时，则337500<-5000a+500000，此时a<32.5；当>，则337500>-5000a+500000，此时a>32.5；当=时，此时337500=-5000a+500000，则a=32.5。为此可知，当10《a<32.5时，应选择在国外销售产品；当a=32.5时，国内销售与国外销售利润相同；当32.5<a<40< span="">时，应选择在国内销售产品。

结束语

当前新课标的主旨便是学以致用，学生应该认真审题，并将生活中的实际问题转化为二次函数模型，利用其性质解题。实际生活中，二次函数体现于方方面面，学生只有正确写出二次函数的解析式，掌握处理实际问题的思路与方法，才可以达到举一反三的效果。这样无论数学题目发生怎样变化，只要学生掌握基本的解题方法，所有问题也都会迎刃而解。

参考文献

[1]冯玉娴,刘春香.设计·生成·反思---借助几何直观解决二次函数的相关问题[J].中国数学教育,2014(05).

[2]李春蓉,黄芳.应用二次函数解决利润最大化问题[J].学苑创造(7-9年级阅读),2013(02).

[3]刘召生.整体把握 重点突破---浅谈二次函数的教学[J].教育研究与评论(中学教育教学),2012(07).

[4]麦英梅.改进学习方法 提高函数教学---二次函数课堂教学浅谈[J].学生之友(初中版),2011(03).